Propriedades do Logaritmo

Atividades-Parte 2

Atividades-Parte 1

Logaritmos -Parte 2

Feito pelas alunas Nathalia Pinheiro e Camila Simões

Logaritmo-Parte 1

funções do logaritmo

Toda função definida pela lei de formação f(x) = log_ax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.

Determinando o domínio da função logarítmica
Dada a função f(x) = log_{(x – 2)} (4 – x), temos as seguintes restrições:
1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4
2) x – 2 > 0 → x > 2
3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3
Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4.
Dessa forma, D = {x ? R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4}



  

Conceito do Logaritmo.

Este é um vídeo aula que ensina o conceito do logaritmo de uma forma fácil e divertida de aprender.

Historia do Logaritmo

Os logaritmos, como instrumento de calculo, surgiram da necessidade de simplificação de alguns cálculos, uma vez que transforma a multiplicação e a divisão em operações mais simples,  principalmente por conta do desenvolvimento da Astronomia e da expansão do comércio causada pelas grandes navegações nos seculos XVI e XVII 

A invenção dos logaritmos 

As primeiras tábuas de logaritmos foram inventadas, independentemente por  John Napier e Joost Burgi. Logo depois Henry Briggs aperfeiçoo essas tábuas, apresentando os logaritmos decimais 

Ideia de Napier 

Ele é considerado o inventor dos logaritmos, muito embora outros matemáticos da época também tenham trabalhado com ele. A ideia de John Napier, era inspirado pelas formulas da trigonometria e no produto de potencias de base comum que transformavam as multiplicações em adições e subtrações ,consistia em elaborar tabelas com os termos de uma progressão geométrica que pudesse ser um auxiliar de calculo 

Joost Burgi e Henry Briggs

Acredita-se que de forma independente com um método semelhante ao de  Napier , empregando uma razão de 1,0001. Burgi criou um método de cálculos logaritmo,s e uma tabua com 23027 termos. Briggs foi responsável pela aceitação dos logaritmos pelos cientistas. Propôs os conhecidos logaritmos 

Função do Segundo Grau ( ou Quadrática )

Chama-se Função Quadrática qual quer função dada pela lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. 

  Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

a)f(x) = 3x² - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 

b)f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 

c)f x)= 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5

Gráfico

    O gráfico de uma função  do 2º grau, f(x) = ax² + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo:

 Vamos construir o gráfico da funçã f(x) = x² -1:

    

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de f(x)seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x f(x) -2 3 -1 0 0 -1 1 0 2 3 3 8

Potenciação e Radiciação

Breves conceitos e exemplos de potenciação e radiciação para ajudar no entendimento dos  assuntos que serão abordados daqui em diante.

Potenciação



Podemos dizer que potenciação representa uma multiplicação de fatores iguais, se temos a seguinte multiplicação: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, podemos representá-la usando a potência 2⁶, onde 2 é a base e 6 o expoente (Leia: dois elevado a sexta potência).

O expoente possui um papel fundamental na potenciação, pois ele é quem define quantas vezes a base será multiplicada por ela mesma. Observe:

2⁶ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
4² = 4 x 4 = 16
5³ = 5 x 5 x 5 = 125
10² = 10 x 10 = 100
12² = 12 x 12 = 144
3⁵ = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
6³ = 6 x 6 x 6 = 216

Casos de potenciação

Todo número diferente de zero e elevado a zero é um.
2⁰ = 1
3⁰ = 1
10⁰ = 1
4⁰ = 1
125⁰ = 1

Todo número diferente de zero e elevado a um é o próprio número.
2¹ = 2
3¹ = 3
15¹ = 15
20¹ = 20
12¹ = 12

Base zero e qualquer número no expoente, o resultado será zero.
0⁵ = 0
0¹² = 0
0¹⁰⁰ = 0
0⁷ = 0
0²⁵ = 0

Base negativa e expoente ímpar, resultado negativo.
(-3)³ = (-3) x (-3) x (-3) = -27
(-4)⁵ = (-4) x (-4) x (-4) x (-4) x (-4) = -1024
(-2)⁷ = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = -128

Base negativa e expoente par, resultado positivo.
(-2)⁴ = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = + 16
(-6)² = (-6) x (-6) = + 36
(-7)² = (-7) x (-7) = + 49

Base é um número racional (fração): devemos elevar ao expoente indicado o numerador e o denominador da fração.



Quando o expoente é um número negativo: invertemos a base e mudamos o sinal do expoente para positivo.




Uma importante aplicação de potenciação é a notação científica, usada para expressar valores muito grandes ou muito pequenos. A notação é usada por cientistas, como astrônomos, físicos, biólogos, químicos entre outros.

Exemplos:

6 120 000, podemos representá-lo usando a seguinte notação decimal 6,12 * 10⁶

0,00012, pode ser representado por 1,2 * 10^-4.

Fonte:http://www.alunosonline.com.br/matematica/potenciacao.html.

Radiciação

Uma raiz nada mais é que uma operação inversa à potenciação, sendo assim, ela é utilizada para representar, de maneira diferente, uma potência com expoente fracionário.

Exemplos

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Raiz com índice par

Para um número real a positivo, com n sendo um número natural par e positivo, maior que 1, tem-se um b, tal que, se , então bⁿ = a, onde a é o radicando, n é o índice, b é raiz e √ é o radical. Com .

Nenhum valor de a negativo (-a) tem definição nesse caso.

Observação: quando o índice não aparecer no radical, isso indica que n = 2 e teremos uma raiz quadrada.

Exemplos:

Raiz com índice ímpar

Sendo a um número real, positivo ou negativo, com m sendo um número natural ímpar e positivo, maior que 1, tem-se um b, tal que, se , então b^m = a, onde a é o radicando, m é o índice, b é raiz e √ é o radical. Com  .

Nesse caso é possível obtermos raízes negativas dentro do conjunto dos números reais (ℝ).

Exemplos:

Propriedades

1. Para o radicando que tenha, como resultado de uma fatoração, expoente igual a seu índice, então este radicando é igual à raiz procurada.
   Exemplos:
   
2. Podemos dividir o radicando e o índice por um mesmo número real, desde que este seja diferente de zero e maior que um, e divisor comum do radicando e do índice.
   
   Exemplos:
3. Para resolvermos a raiz m-esima de uma raiz n-ésima, multiplicamos os índices entre si mantendo intacto o radical interno.
   Exemplos:
   
4. A raiz n-ésima de um produto é igual ao produto das raízes n-ésimas.Exemplos:
   
5. A raiz n-ésima de um quociente (divisão) de a por b é igual ao quociente entre as raízes n-ésimas.
   
   
6. Exemplos

Fonte:http://www.infoescola.com/matematica/radiciacao/